点悟 本题求解时将物体的运动分成了由A点到B点和由B点到C两个阶段,分别应用匀变速直线运动速度公式,先由第一阶段求加速度a,再由第二阶段求到达C点的速度 vC 。本题也可不求出a的具体数值,而由两个阶段的速度公式消去a,求得 vC ;或者在求得a后,在物体由A点到C点运动的整个阶段,再应用匀变速直线运动速度公式,由 vC =vA+a (t1+ t2) 求得 vC 。
例3 甲、乙两物体分别做匀加速和匀减速直线运动,已知乙的初速度是甲的初速度的2.5倍,且甲的加速度大小是乙的加速度大小的2倍,经过4s,两者的速度均达到8m/s,则两者的初速度分别为多大?两者的加速度分别为多大?
提示 注意加速度的正负号及两者之间的联系。
解析 对甲、乙两物体分别应用匀变速直线运动速度公式,有
,
又 ,,
由以上四式可得甲、乙两物体的初速度分别为
m/s=4m/s,m/s=10m/s;
甲、乙两物体的加速度大小分别为
m/s2=1m/s2, m/s2= 0.5m/s2
点悟 当问题涉及多个物体的运动时,除了对每一个物体进行运动状态的分析,列出相应的运动学方程外,还需找出它们之间的联系,列出必要的辅助方程,组成方程组求解。
例4 一辆沿笔直的公路匀加速行驶的汽车,经过路旁两根相距50m的电线杆共用5s时间,它经过第二根电线杆时的速度为15m/s,则经过第一根电线杆时的速度为( )
A. 2m/s B. 10m/s C. 2.5m/s D. 5m/s
提示 用平均速度进行分析。
解析 已知s=50m, t=5s, v2=15m/s, 以v1表示汽车经过第一根电线杆时的速度,由平均速度的定义式和匀变速直线运动平均速度的计算式,可得
,
解得汽车经过第一根电线杆时的速度
m/s-15m/s=5m/s。
可见,正确选项为D。
点悟 公式是平均速度的定义式,适用于任何运动;而公式是匀变速直线运动平均速度的计算式,仅适用于匀变速直线运动。公式表明,做匀变速直线运动的物体在某段时间内的平均速度,等于这段时间的初速度与末速度的代数平均值。例如,物体做匀变速直线运动,初速度v1=2m/s,末速度v2=-2m/s,则平均速度
m/s=0。
发展级
例5 两木块自左向右运动,现用高速摄影机在同一底片上多次曝光,记录下木块每次曝光时的位置,如图2-16所示,连续两次曝光的时间间隔是相等的,由图可知( )
A. 在时刻t2以及时刻t5两木块速度相同
B. 在时刻t1两木块速度相同
C. 在时刻t3和时刻t4之间某瞬间两木块速度相同
D. 在时刻t4和时刻t5之间某瞬时两木块速度相同
提示 先考察两木块的运动性质,再由关系式进行分析判断。
解析 首先由题图可以看出:上边那个物体相邻相等时间内的位移之差为恒量,可以判定其做匀变速直线运动;下边那个物体明显地是做匀速运动.由于t2及t5时刻两物体位置相同,说明这段时间内它们的位移相等,故它们的平均速度相等,由可知其中间时刻的即时速度相等,这个中间时刻显然在t3、t4之间,因此本题正确选项为C。
点悟 本题涉及两种基本运动--匀速直线运动和匀变速直线运动,根据题图判断两木块的运动性质,这是解答本题的关键。要注意培养看图识图、分析推理以及运用物理知识解决实际问题的能力。
例6 一个物体从静止开始做匀加速直线运动,5s末的速度为1m/s,则10s末的速度为多大?
提示 先求加速度,或由速度比例关系求解,也可用速度图象分析。
解析 解法一:公式法
由匀变速直线运动速度公式,,有v1=at1,故物体运动的加速度为
m/s2=0.2m/s2。
从而,物体在10s末的速度为
v2=a t2=0.2×10m/s=2m/s。
解法二:比例法
对于初速度为0的匀加速直线运动,有,故
,
从而,物体在10s末的速度为
m/s=2m/s。
解法三:图象法
画出物体运动的速度图象如图2-17所示。由图象可知,物体在10s末的速度为2m/s。
点悟 一个问题从不同的角度去分析,往往可有不同的解法。上述解法一先求加速度,属于常规解法,略繁一些;解法二用比例关系列式,比较简单;解法三运用图象进行分析,简洁明了。
课本习题解读
[p.39问题与练习]
1. 机车的初速度v0=36km/h=10m/s,加速度a=0.2m/s2,末速度v=54km/h=15m/s,根据得机车通过下坡路所用的时间为
s=25s。
本题与下题均应注意物理量单位的换算。
2. 火车的初速度v0=72km/h=20m/s,加速度a=-0.1m/s2,减速行驶的时间t=2min=120s,根据得火车减速后的速度
v=20m/s-0.1×120m/s=8m/s。
注意加速度a为负值。
3. 由题给图象可知:
(1)4s末速度为2m/s,最大;7s末速度为1m/s,最小。
(2)这三个时刻的速度均为正值,速度方向相同。
(3)4s末加速度为0,最小;7s末加速度大小为1m/s2,最大。
(4)1s末加速度为正值,7s末加速度为负值,加速度方向相反。
速度、加速度都是矢量,比较矢量的大小应按矢量的绝对值评定。
4. 物体的初速度v0=0,加速度a1=1m/s2,a2=0.5 m/s2,时间t1=4s, t2=8s, 根据,可得物体在4s末、8s末的速度分别为 v1=a1t1=1×4m/s=4m/s,
v2= v1+a2(t2-t1)=4m/s+0.5×(8-4) m/s =6m/s。
由此可画出物体在8s内的速度图象如图2-18所示。
练习巩固(2-2)
基础级
1. 从地面上竖直向上抛出一个物体,物体匀减速上升到最高点后,再以与上升阶段一样的加速度匀加速落回地面。图2-19中可大致表示这一运动过程的速度图象是( )
A.(a)图 B.(b)图 C.(c)图 D. (d) 图
2. 火车在通过桥梁的时候要提前减速。一列原以72km/h的速度匀速行驶的火车在驶近一座铁桥前,匀减速行驶了2min,加速度的大小为0.1m/s2,火车减速后的速度为多大?
3. 机车原来的速度为36km/h,在一段下坡路上加速度为0.2m/s2。机车行驶到下坡末端,速度增加到54km/h。求机车通过这段下坡路所用的时间。
4. 一物体由静止开始做匀加速直线运动,它在第5s内的平均速度为18m/s,则物体运动的加速度多大?10s末的速度多大?
5. 做匀加速直线运动的物体从A经B运动到C所用的总时间为t。已知物体在AB段的平均速度为v,在BC段的平均速度为3v,则物体的加速度为多大?
6. 升降机从静止开始以2m/s2的加速度做直线运动,3s后改做匀速运动,7s后改做匀减速运动,再经2s停止。试问:升降机匀速运动时的速度多大?减速运动时的加速度多大?加速运动和减速运动时的平均速度各多大?
7. 物体以8m/s的初速度冲上一足够长的斜坡,当它再次返回坡底时速度大小为6m/s,则上行和下滑阶段,物体运动的时间之比多大?加速度之比多大?
发展级
8. 物体在水平面上滑行,由于摩擦阻力的作用而做匀减速运动,加速度大小为3m/s2。在停止前的1s内,物体的平均速度多大?
9. 一物体从静止开始做匀加速直线运动,加速度大小为a,当速度为v时将加速度反向,大小恒定。为使该物体在相同的时间内回到原出发点,则反向后的加速度应为多大?回到原出发点时的速度多大?
10. 平直公路上有甲、乙两辆汽车,甲以0.5m/s2的加速度由静止开始行驶,乙在甲的前方200m处以5m/s的速度做同方向的匀速运动。在甲追赶乙的过程中,甲、乙之间何时有最大距离?这个距离为多大?
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