高一数学关于对数的公式

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　　对数的性质及推导

　　用^表示乘方，用log(a)(b)表示以a为底，b的对数

　　*表示乘号，/表示除号

　　定义式：

　　若a^n=b(a>0且a≠1)

　　则n=log(a)(b)

　　基本性质：

　　1.a^(log(a)(b))=b

　　2.log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);

　　3.log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);

　　4.log(a)(M^n)=nlog(a)(M)

　　推导

　　1.这个就不用推了吧，直接由定义式可得(把定义式中的[n=log(a)(b)]带入a^n=b)

　　2.

　　MN=M*N

　　由基本性质1(换掉M和N)

　　a^[log(a)(MN)]=a^[log(a)(M)]*a^[log(a)(N)]

　　由指数的性质

　　a^[log(a)(MN)]=a^{[log(a)(M)]+[log(a)(N)]}

　　又因为指数函数是单调函数，所以

　　log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N)

　　3.与2类似处理

　　MN=M/N

　　由基本性质1(换掉M和N)

　　a^[log(a)(M/N)]=a^[log(a)(M)]/a^[log(a)(N)]

　　由指数的性质

　　a^[log(a)(M/N)]=a^{[log(a)(M)]-[log(a)(N)]}

　　又因为指数函数是单调函数，所以

　　log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N)

　　4.与2类似处理

　　M^n=M^n

　　由基本性质1(换掉M)

　　a^[log(a)(M^n)]={a^[log(a)(M)]}^n

　　由指数的性质

　　a^[log(a)(M^n)]=a^{[log(a)(M)]*n}

　　又因为指数函数是单调函数，所以

　　log(a)(M^n)=nlog(a)(M)

　　其他性质：

　　性质一：换底公式

　　log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)

　　推导如下

　　N=a^[log(a)(N)]

　　a=b^[log(b)(a)]

　　综合两式可得

　　N={b^[log(b)(a)]}^[log(a)(N)]=b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}

　　又因为N=b^[log(b)(N)]

　　所以

　　b^[log(b)(N)]=b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}

　　所以

　　log(b)(N)=[log(a)(N)]*[log(b)(a)]{这步不明白或有疑问看上面的}

　　所以log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)

　　性质二：（不知道什么名字）

　　log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]

　　推导如下

　　由换底公式[lnx是log(e)(x),e称作自然对数的底]

　　log(a^n)(b^m)=ln(a^n)/ln(b^n)

　　由基本性质4可得

　　log(a^n)(b^m)=[n*ln(a)]/[m*ln(b)]=(m/n)*{[ln(a)]/[ln(b)]}

　　再由换底公式

　　log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]

　　--------------------------------------------（性质及推导完）

　　公式三:

　　log(a)(b)=1/log(b)(a)

　　证明如下:

　　由换底公式log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a)----取以b为底的对数,log(b)(b)=1

　　=1/log(b)(a)

　　还可变形得:

　　log(a)(b)*log(b)(a)=1

 

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