破解数学思维“死角”探析

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　　数学思维“死角”是指学生在学习数学过程中的认知盲区，这个认知盲区是由于没有形成辩证思维造成的，它不同于数学学习过程中的一般性错误。因此，我们有必要对小学生进行辩证思维的启蒙教育。
　　一、数学思维“死角”有多种表征，既有对思维品质潜在的不良影响，又有对小学生进行辩证思维启蒙教育的利用
　　价值
　　1.隐蔽性。
　　数学思维“死角”与学生的思维活动密切相关，常隐蔽在一般思维活动之后，不易察觉，只有在解决具体问题时出现的阻碍和困难中，才得以显现。隐蔽性在特例、特解、错题、错解，以及抽象的概念、结论的运用、变式的练习中表现较为显著。
　　2.延续性。
　　在环境不变的情况下，积极的定势思维能使人运用已掌握的方法迅速解决问题，而数学思维“死角”的形成，会对学生的学习产生负面影响，从而形成消极的思维定势，使学生对事物的认识总是摆脱不了已有框架的“束缚”。思维“死角”的延续性，常常表现在新旧知识的迁移处和相近知识的连接处。
　　3.差异性。
　　对于同一年龄层次的学生来说，思维及数学思维的发展有共性之处，又有其自身的特点。数学思维“死角”亦然，表现在不同的学生对相同的问题或同一个学生对不同特点的数学知识，认知盲区的表现方式和程度各不相同。
　　4.资源性。
　　当思维“死角”出现时，如果能正视并根据思维“死角”的特点引导学生及时调整思维的角度、起点，思维“死角”就能成为重要的教学资源，对提升学生的思维品质大有益处。
　　二、数学思维“死角”的形成，源于教材呈现方式的局限、教师辩证思维的缺失、学生辩证思维的空白等方面，需
　　要教师综合分析，对症下药
　　教材的原因：教材呈现的是作为结果的与经过逻辑加工的数学理论体系，没有揭示概念的发展、定律的发现、思路的猜测、方法的选择，以及数学的发现、创造、应用的探索过程。学生在把静态的结果转化为动态的知识结构的过程中，思维“死角”就会不可避免地产生。虽然数学家和编者的思维方式或隐或现地存在于教材中，却代替不了学生的思维方式，两者之间的脱榫，形成了学生的思维“死角”。
　　案例1：“数的整除”教学片断
　　“为了方便，我们在研究约数和倍数时，所说的数一般指不是零的自然数。”
　　这句话中的“一般”，使该单元的教学年年在争论和分歧中进行。“一般指不是零的自然数”，那么何时考虑零？何时忽视零?最小的合数是4，零呢?任何非零整数都是零的约数，而合数的概念正是依据一个数约数个数的多少来界定的。再者，零是偶数，因为零能被2整除，那么零为什么不是奇数?零也能被奇数整除。像上述这些问题都没有把零排除在外，所以争论也就不可避免。
　　有些数学思维“死角”的形成，则是数学学科本身的特点所致。数学的对象是抽象思维的产物，学科本身的高度抽象与学生思维发展特点之间的矛盾，决定了形成数学思维“死角”的必然性。因此，在课程实施中，教师要在充分把握学生现实经验和认知水平的基础上，寻找更为合理的教学落脚点，使凝结于教材的数学家的成熟思维方式通过教师的教学加工而转化为学生积极主动、科学合理的思维方式，很好地弥补了教材呈现的不足。
　　教师的原因：教学行为是教师思维方式的外显，教师自身的思维方式很大程度上影响学生的思维过程。由于教师自身辩证思维的欠缺，加之教师的主观意识、教学经验、教育机智等因素，教学实际中总会出现一些教师预设时不曾料想的细节，有的被疏忽，成为教学的遗憾；有的在教学中被捕捉与挖掘，成为课堂生成的亮点，弥补了预设的不足。
　　案例2：“分数与除法”教学片断
　　把3块饼平均分给4个小朋友，每个小朋友分得多少块?
　　想：求每个小朋友分得多少块，要算3÷4得多少。
　　从图中可以看出，每个小朋友分得3个1/4，就是3/4块，所以3÷4=3/4(块)。
　　答：每个小朋友分得3/4块饼。
　　每个小朋友分得3/4块饼，相当于3块饼的1/4，从另一个角度看，则相当于1块饼的3/4。一个分数从不同的角度看，有其不同的含义。如此重要的知识内涵，由于教师预设的欠缺，造成学生对分数意义理解的肤浅与不全面。要克服思维盲区，教师就要结合自身的思维方式，运用唯物辩证法的观点，从不同的角度改进自身对现象和问题的看法。教师要对教学内容有本质的理解和深刻的把握

　 www.gaofen123.com ，不断积累教学经验，教学预设时要从学生的角度预想教学的可能性，使数学家与编者的思维方式、学生的思维方式通过教师的思维活动架设桥梁，实现三者之间的平衡。
　　学生的原因：学生是课程实施过程中重要的教育资源。学生思维的基本特点是以具体形象思维为主要形式，并逐步过渡到以抽象逻辑思维为主要形式，但这种抽象逻辑思维在很大程度上仍然与学生直接的、感性的经验相联系。学生在学习数学的过程中，由于知识经验、社会阅历、思维水平等因素，对数学知识的掌握停留在表象的概括上，不能脱离具体形象形成抽象的概念，缺乏辩证的思维方式，决定了学生思维方式的单一，容易出现认知盲区，形成数学思维“死角”。
　　案例3：一辆汽车从相距120千米的甲地到乙地，去时用了2小时，回来时用了2.5小时，求这辆汽车往返的平均速度。
　　错误解答：(120÷2+120÷3)÷2=(60+40)÷2=50(千米)
　　很显然，学生求的不是往返的平均速度。面对学生的错误理解，教师该怎么办?是简单否定还是直接告知?教师不妨利用数形结合，辨析算法的真伪，帮助学生理解平均数应用题的数量关系，加深对“平均数”这一概念的深刻认识。
　　面对教学过程中学生出现的“意外”，教师应及时调整教学预设，引导学生全面、辩证地思考数学问题，只有这样，学生对数学内容的理解才不至于浮于表面，而是有机地深入到数学内容的内核中去。在学生的学习过程中，思维“死角”随处可遇，关键是教师要练就一双慧眼，把“思维死角”作为调整教学策略的着眼点，有效地克服学生的思维“死角”。
　　三、辩证思维是数学学习中思维方式的最高境界，思维“死角”是对学生进行辩证思维启蒙教育重要的课程资源
　　教师要运用多种途径和方法，打开进入思维“死角”的入口，帮助学生消灭思维“死角”，掌握初步辩证思维的方法，提升学生的思维品质。
　　1.从少数学生的声音中发现思维“死角”，为辩证思维的启蒙提供平台。
　　课堂教学是动态生成的，常常会出现少数学生的声音。遗憾的是，有的教师面对少数学生的声音，不是以“这个问题我们课后再讨论”来搪塞，避而不谈，就是用“你真是个爱动脑筋的孩子”来敷衍，既不肯定也不否定，许多优质教育资源就这样与我们失之交臂。其实，这种声音正是学生思维的真实暴露。如果是正确的，不正好完善与丰富我们的预设，提高了学生认知的平台，增添教学的亮点吗?如果是片面的、肤浅的，甚至是错误的，从中我们更能获得一些重要的教育信息：教学预设有哪些不足?教学思路该如何调整?教学问题如何设计?怎样促进学生辩证数学观念的形成?……如一位教师教学“轴对称图形”一课时，学生对平行四边形是否是轴对称图形产生分歧。面对学生的思维误区，教师不是直接告知，也不是简单地否定，而是利用少数学生的声音组织学生辩论，使学生准确地把握轴对称图形的内涵。正是少数人的认知“死角”，使得学生的认知在争辩中由模糊、肤浅走向清晰与深刻。
　　教师要智慧地对待少数学生的声音。(1)要认真倾听，善于甄别、筛选，及时捕捉，使少数学生的声音成为有效的教学资源，回避、敷衍或强制学生接受教师观点的教学策略，都不是有智慧的教育。(2)建立和谐、民主的师生关系，营造轻松、愉悦的教学氛围，让学生在课堂中敢说、敢想、敢做，若过分强调教师的中心观念，学生的认知就会出现盲区。(3)鼓励学生质疑问难。质疑问难是探求知识、发现问题的开始，学生也容易暴露思维盲区，成为教学中可以利用的资源。
　　2.在错题、错解中发现思维“死角”，为辩证思维的启蒙提供“反例”。
　　学生的错题、错解中最容易暴露学生的思维历程是全面的还是片面的，是肤浅还是深刻。因此，教师要善于从学生的错题和错解中捕捉学生的思维“死角”，进行理性反思，有利于加深思维层次，弥补认知盲区，消灭思维“死角”，建立完整的知识体系。如用分数表示下图中的涂色部分：
　　相当多的学生认为，涂色部分应该用分数3/4表示。由整数过渡到分数是学生数的概念的一次飞跃，特别是许多物体组成的整体平均分成若干份，其中的一份或几份既可用整数又可用分数来表示，学生感到不适应。在用分数表示涂色部分时，“物体的总数”、“每份的个数”、“平均分的份数”、“表示的份数”等几个概念相互干扰，容易混淆，实际上是学生对分数意义理解的模糊。鉴于以上理解偏差，教师在教学中不妨让学生真实的思维表现出

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　　教师要善于利用学生的错题、错解。(1)善于总结。当一个数学问题解决后，教师要引导学生从解题的方法、规律、思维策略等方面进行总结与反思，力图从解决问题中发现新的普遍使用的东西。(2)善于引申。当一个数学问题解决后，教师还要善于引导学生引申，探求一题多解、多题一解、一题多思，扩大学生的视野，深化认识。(3)善于变化。许多试题来源于课本却高于课本，以至于常出常新，但其基本知识并未变化。所以习题讲解时，原题讲解后，教师要善于把原题进行变化，对某一知识从多角度、多侧面和不同的起点进行思考。(4)善于建构。习题讲解时，重点讲错例、错解，不仅讲错误原因所在，而且要与学生一起探索防错的策略，让学生不仅会做一道题或者一类题，更重要的是学会如何去建构自己的知识体系。
　　3.在学生参与试题编制中发现思维“死角”，为辩证思维的启蒙提供机会。
　　鼓励学生编制数学试题，其实是换一种更能激发学习积极性的方式检测学生的学习情况，考查学生综合运用知识的能力，了解教学目标的达成度，反馈教学效果，发现学生的知识缺口，以便教师针对实际情况及时查漏补缺。让学生参与试题编制是教学中创造生成机会的重要手段，是确立学生为主体的最突出表现，为辩证思维的初步形成提供机会。如：一根绳子，第一次用去它的1/2，第二次用去1/3米，还剩多少米?这是学习分数的意义后学生编制的试题，从中不难看出，学生对分率与数量两个抽象概念含糊不清。针对这种情况，教师可利用“一根长3米的绳子，平均分成4段，每段占全长的几分之几”等类似的题目，不断变换绳子的总米数，数形结合，帮助学生理解分率与数量的概念。最后再启发学生思考“如果不告诉绳子的总长，哪一问就无法解答”，以此区别分率与数量的不同，为学生的后继学习提前扫清思维障碍。通过在教学中有意识地培养学生的辩证思维，促使他们形成全面地、发展地看待问题的观点。
　　教师要有效地指导学生参与试题的编制。(1)鼓励学生模仿编题，改变试题，翻新编题。(2)及时评价学生编制的试题。对于学生编制的试题，教师应在肯定的同时指出不足和需要改进之处，也可组织学生互评，在对所编制试题的不断完善与修改过程中逐步形成正确的认知。(3)鼓励学生根据自己所考虑的问题，或是模糊不清、感觉困惑、疑问的知识编制试题，让学生在辨误中“悟误”。(4)抓住编题的时机。课前编以旧引新的复习题，课中编贴近教材的即时练习题，课后编综合且开放的提高题。
　　4.在教师的提问(追问)中发现思维“死角”，为辩证思维的启蒙提供动力。
　　设计有价值的数学问题，可以促进教学预设的顺利进行，是师生互动交流与实现教学反馈的重要手段，有助于拓宽学生思维的广度和深度。在教师的提问(追问)中，学生逐渐认识到思维的局限与偏差，及时调整思路，将思维活动直接指向问题解决，优化课堂教学过程。
　　案例4：“平均数”教学片断
　　出示男女生套圈成绩统计图(略)。
　　提问：要比较哪一队套得多，你打算怎样去比较?(女生中吴燕套得最多，所以女生队套得多)
　　追问：一个人的成绩能代表全队的成绩吗?(先求出每一队中一共套多少个，再进行比较)
　　追问：两个队的人数不一样多，这样的比较公平吗?(不公平)
　　追问：怎样比较才公平?(先求出每个队中平均每人套多少个，再比较哪个队套得准)
　　再追问：生活中还有哪些地方用求平均数的方法解决问题?
　　学生的回答，暴露了学生解决问题方法单一和受思维定势的负面影响。而教师富有启发性的提问，起到了四两拨千斤的作用，将学生的思维引向深入，引向问题解决。“生活中还有哪些地方用求平均数的方法解决问题”的追问，加深了学生对平均数问题的深刻理解。
　　教师要掌握提问技巧。(1)教师要把握提问的时机，在新知识的生长点、新旧知识的连接点、学生思维受阻时巧妙设问，把凝结于教材中的思维活动充分展开。(2)加强课堂提问的有效示范。教师的问题意识、问题产生过程、提问的表达方式、提出不同问题的思维方式，都会对学生起到潜移默化的作用。(3)针对思维盲区，设置问题“陷阱”。学生在学习过程中出现的认知盲区，教师如能设计一些似是而非、模棱两可的问题，引诱学生作出错误判断，让学生验证，自主纠错，从而消除模糊认识，充分发挥了“反面教育”的作用。
　　随着课程改革的深入发展，越来越要求打破教材作为唯一课程资源的禁锢，而课程资源意义的日益突显，对教师开发和利用课程资源的意识与能力也越来越高。敏锐地捕捉和充分利用数学思维“死角”，对于学生辩证思维的启蒙教育与提升他们的思维品质，具有积极的现实意义。