GCT数学解题思路讲解

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1、 设１０件产品中有４件不合格品，从中任取两件，已知取出的两件中有一件不合格品，求另一件也是不合格品的概率。（０.２）
在”已知取出的两件中有一件不合格品”的情况下，另一件有两种情况(1)是不合格品,即一件为合格品,一件为不合格品(2)为合格品,即两件都是合格品.对于(1),c(1,4)*(1,6)/c(2,10)=8/15;对于(2),c(2,4)/c(2,10)=2/15.提问实际上是求在这两种情况下,(1)的概率,则(2/15)/(8/15+2/15)=1/5

2、 某人自称能预见未来，作为对他的考验，将1枚硬币抛10次，每一次让他事先
预言结果，10次中他说对7次 ，如果实际上他并不能预见未来，只是随便猜测， 则他作出这样好的答案的概率是多少？答案为11/64。
原题说他是好的答案,即包括了7次,8次,9次,10次的概率. 即 c(7 10)0.5^7x0.5^3+......c(10 10)0.5^10, 即为11/64.

3、 成等比数列三个数的和为正常数k,求这三个数乘积的最小值
a/q+a+a*q=k(k为正整数)
由此求得a=k/(1/q+1+q)
所求式=a^3,求最小值可见简化为求a的最小值.
对a求导,的驻点为q=+1,q=-1.
其中q=-1时a取极小值-k,从而有所求最小值为a=-k^3.(mba不要求证明最值)

4、 掷五枚硬币，已知至少出现两个正面，则正面恰好出现三个的概率。
可以有两种方法：
1.用古典概型 样本点数为c（3，5），样本总数为c（2，5）c（3，5）c（4，5）c（5，5）（也就是说正面朝上为2，3，4，5个），相除就可以了；
2.用条件概率 在至少出现2个正面的前提下，正好三个的概率。至少2个正面向上的概率为13/16，p（ab）的概率为5/16，得5/13
假设事件a：至少出现两个正面；b：恰好出现三个正面。
a和b满足贝努力独立试验概型，出现正面的概率p=1/2
p(a)=1-(1/2)^5-(c5|1)*(1/2)*(1/2)^4=13/16
a包含b，p(ab)=p(b)=(c5|3)*(1/2)^3*(1/2)^2=5/16
所以：p(b|a)=p(ab)/p(a)=5/13。

5、 若方程x2+p*x+37=0恰有两个正整数解x1,x2,则((x1+1)*(x2+1))/p=?
(a) -2, (b) -1 (c)-1/2 (d)1
题目说有两个正整数的根，故只能是1和37，p=-38

6、一张盒子中有4张卡片，其中两张卡片两面都是红色，一张卡片两面都是绿色，一张卡片一面红一面绿。任取其中一张 ，观察其一面的颜色，如果被观察的一面是绿的，求另一面也是绿色的概论。
设a=被观察的一面是绿的，b=两面都是绿
则需求p（b/a）=p（ab）/p（a）=p（b）/p（a）=1/4：1/2=1/2，所给答案却2/3？

7、设有一个均匀的陀螺，其圆周的一半上均匀地刻上区间[0，1）上的诸数字，另一半上均匀地刻上区间[1，3）上的诸数字。旋转这陀螺,求它停下来时其圆周上触及桌面的点的刻度位于[1/2，3/2]上的概率。
设陀螺触及桌面的点的刻度落在[0，1）、[1，3]、[1/2，1）、[1，3/2]上的概率分别为p(01),p(13),p1,p2,则：
p(01)=p(13)=1/2, p1=p(01)*p(1)|p(01)=1/2*[(1-1/2)/(1-0)]=1/4
同理 p2=1/2*[(3/2-1)/(3-1)]=1/8 p=1/4+1/8=3/8

8、设某家庭有3个孩子，在已知至少有一个女孩的条件下，求这个家庭中至少有一个男孩的概率。
设a为三人中至少有一个女孩，b为已知三人中有一个女孩另外至少有一个男孩；p（a） =1-（1/2）*（1/2）*1/2=7/8 , p(ab)=1-（1/2）*（1/2）=3/4,
所以 p(b|a) = p(ab)/p(a) = 6/7。
(这样分析是认为三个孩子是排序的，一男二女就包括 bgg,gbg,ggb 三种情况，总共有八个样本，这比抛硬币难理解一些）

9、设有4只坏，每只都能以同样的落入4个格子中的任一个，求前2个球落入不同格子中的概率。
分别设四球为1号, 2号，3号和4号
1号球落入某个格子有4种可能，那么2号球就只有3种可能
3号4号可落入4个格子中的任意，有4，4种可能
所以应为4*3*4*4/44

10、 甲，乙二人同时同地绕400米跑道赛跑，甲速度每秒比乙快3米，知甲跑三圈后第一次赶上乙，求乙速度.( 6s/m)
3*400/(v+3) = 2*400/v 得v=6 (m/s)
已知f(xy)=f(x)+f(y)且f’(1)=a,x≠0，求f’(x)=? (答案为a/x)
原方程两边对y进行求偏导
xf’(xy)=f’(y) 其中f’(xy)与f’(y)都是对y偏导数
xf’(x*1)=f’(1)=a 得 f’(x)=a/x
当⊿x→0时，令x+⊿x=xz则z=(1+⊿x/x)
由f’(x)=[f(x+⊿x )-f(x)]/ ⊿x
={f[x(1+⊿x/x)]-f(x)}/⊿x
=[f(x)+f(1+⊿x/x)-f(x)]/⊿x
=f(1+⊿x/x)/⊿x =f’(1)/x=a/x

11.已知函数f(x+y,x-y)=x2-y2, 则f对x的偏导数加f对y的偏导数等于? (a)2x-2y (b)x+y
设u=x+y,v=x-y
f(u,v)=uv
f’x=f’u*u’x+f’v*v’x=v*1+u*1=u+v
f’y=f’u*u’y+f’v*v’y=v-u
f’x+f’y=u+v+v-u=2v=2(x-y)=2x-2y 选a
由已知f(x+y,x-y)=(x+y)(x-y),

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