分析：拖拉机一小时耗油5升，t小时耗油5t升，以20升减去5t升就是余下的油量.
解： 函数关系式：Q=20-5t，其中t的取值范围：0≤t≤4。
图象是以(0，20)和(4，0)为端点的一条线段(图象略)。
点评：注意函数自变量的取值范围.该图象要根据自变量的取值范围而定，它是一条线段，而不是一条直线.
函数问题8
已知一次函数的图象经过点P(-2，0)，且与两坐标轴截得的三角形面积为3，求此一次函数的解析式.
分析：从图中可以看出，过点P作一次函数的图象，和y轴的交点可能在y轴正半轴上，也可能在y轴负半轴上，因此应分两种情况进行研究，这就是分类讨论的数学思想方法.
www.gaofen123.com解：设所求一次函数解析式为
∵点P的坐标为(-2，0)
∴|OP|=2
设函数图象与y轴交于点B(0，m)
根据题意，SΔPOB=3
∴|m|=3
∴一次函数的图象与y轴交于B1(0，3)或B2(0，-3)
将P(-2，0)及B1(0，3);或P(-2，0)及B2(0，-3)的坐标代入y=kx+b中，得
-2k+b=0，b=3; 或-2k+b=0，b=-3。
解得 k=1.5，b=3;或k=-1.5，b=-3。
∴所求一次函数的解析式为 y=1.5x+3或y=-1.5-3。
点评：(1)本题用到分类讨论的数学思想方法.涉及过定点作直线和两条坐标轴相交的问题，一定要考虑到方向，是向哪个方向作.可结合图形直观地进行思考，防止丢掉一条直线.(2)涉及面积问题，选择直角三角形两条直角边乘积的一半，结果一定要得正值.
学习方法
知识要点
1.要理解函数的意义。
2.联系实际对函数图像的理解。
3.随图像理解数字的变化而变化。 一次函数考点及例题
一次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以一次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现。
误区提醒
(1)对一次函数概念理解有误，漏掉一次项系数不为0这一限制条件;
(2)对一次函数图象和性质存在思维误区;
(3)忽略一次函数自变量取值范围。
其它相关
函数和方程
1、从形式上看：一次函数y=kx+b， 一元一次方程ax+b=0 。
2、从内容上看：一次函数表示的是一对(x, y)之间的关系，它有无数对值;一元一次方程表示的是未知数x的值，最多只有1个值 。
3、相互关系：一次函数与x轴交点的横坐标就是相应的一元一次方程的根。 例如：y=4x+8与x轴的交点是(-2, 0)、则一元一次方程4x+8=0的根是x=-2。
函数和不等式
解不等式的方法：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围;
从函数图像的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合。[6]
对应一次函数y=kx+b，它与x轴交点为(-b/k, 0)。
当k>0时，不等式kx+b>0的解为：x>-b/k，不等式kx+b<0的解为：x<-b/k;
当k<0的解为：不等式kx+b>0的解为：x<-b/k，不等式kx+b<0的解为：x>-b/k。
与二元一次方程的关系
(1)以二元一次方程组ax+by=c的解为坐标的点组成的图像与一次函数
y=(-a/b)x+c/b的图像相同.
(2)二元一次方程组a1x+b1y=c1, a2x+b2y=c2的解可以看作是两个一次函数
y=(-a1/b1)x+c1/d1和y=(-a2/b2)x+c2/d2的图像的交点.
方法小结
把方程组中的两个二元一次方程改写成一次函数的形式,然后作出它们的图像,找出两图像的交点,即可知方程组的解。
区别和联系
区别：二元一次方程有两个未知数，而一次函数只是说未知数的次数为一次，并未限定几个变量，因此二元一次方程只是一次函数中的一种。
(1)在平面直角坐标系中分别描绘出以二元一次方程的解为坐标的点，这些点都在相应的一次函数的图象上。如方程2x+y=5有无数组值，像x=1，y=3;x=2，y=1;…以这些解为坐标的点(1, 3)，(2, 1)…都在一次函数y=-2x+5的图象上。
(2)在一次函数图象上任取一点，它的坐标都适合相应的二元一次方程。如在一次函数y=-x+2的图象上任取一点(3, -1)，则x=3，y=-1一定是二元一次方程x+y=2的一组解。[3]
函数的由来
“函数”一词最初是由德国的数学家莱布尼茨在17世纪首先采用的，当时莱布尼茨用“函数”这一词来表示变量x的幂，即x2，x3，….接下来莱布尼茨又将“函数”这一词用来表示曲线上的横坐标、纵坐标、切线的长度、垂线的长度等等所有与曲线上的点有关的变量.就这样“函数”这词逐渐盛行.
在中国，古时候的人将“函”字与“含”字通用，都有着“包含”的意思，清代数学家、天文学家、翻译家和教育家，近代科学的先驱者李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数.”中国的古代人还用“天、地、人、物”4个字来表示4个不同的未知数或变量，显然，在李善兰的这个定义中的含义就是“凡是公式中含有变量x，则该式子叫做x的函数.”这样，在中国“函数”是指公式里含有变量的意思.
瑞士数学家雅克·柏努意给出了和莱布尼茨相同的函数定义.1718年，雅克·柏努意的弟弟约翰·柏努意给出了函数了如下的函数定义：由任一变数和常数的任意形式所构成的量叫做这一变数的函数.换句话说，由x和常量所构成的任一式子都可称之为关于x的函数.
1775年，欧拉把函数定义为：“如果某些变量：以某一种方式依赖于另一些变量.即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数.”由此可以看到，由莱布尼兹到欧拉所引入的函数概念，都还是和解析表达式、曲线表达式等概念纠缠在一起.
首屈一指的法国数学家柯西引入了新的函数定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其它变数的值也可随之而确定时，则将最初的变数称之为‘自变数’，其它各变数则称为‘函数’”.在柯西的定义中，首先出现了“自变量”一词.
1834年，俄国数学家罗巴契夫斯基进一步提出函数的定义：“x的函数是这样的一个数，它对于每一个x都有确定的值，并且随着x一起变化.函数值可以由解析式给出，也可以由一个条件给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法.函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是未知的”.这个定义指出了对应关系。即条件的必要性，利用这个关系以求出每一个x的对应值.
1837年德国数学家狄里克雷认为怎样去建立x与y之间的对应关系是无关紧要的，所以他的定义是：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，则y是x的函数.”
德国数学家黎曼引入了函数的新定义：“对于x的每一个值，y总有完全确定了的值与之对应，而不拘建立x，y之间的对应方法如何，均将y称为x的函数.”
上面函数概念的演变，我们可以知道，函数的定义必须抓住函数的本质属性，变量y称为x的函数，只须有一个法则存在，使得这个函数取值范围中的每一个值，有一个确定的y值和它对应就行了，不管这个法则是公式或图象或表格或其他形式.
由此，就有了我们课本上的函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有惟一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。
【练习题】
1.一次函数y=-5x+3的图象经过的象限是( )
A.一、二、三 B.二、三、四 C.一、二、四 D.一、三、四
2.若一次函数y=(3-k)x-k的图象经过第二、三、四象限，则k的取值范围是( )
A.k>3 B.0<k≤3 C.0≤k<3 D.0<k<3
3.已知一次函数的图象与直线y=-x+1平行，且过点(8，2)，那么此一次函数的解析式为( )
A.y=-x-2 B.y=-x-6 C.y=-x+10 D.y=-x-1
【参考答案】
1.D
2.A
3.C