【性质与概念】
性质
1.当x=0时,b为一次函数图像与y轴交点的纵坐标,该点的坐标为(0, b)。
2.当b=0时,一次函数变为正比例函数。当然正比例函数为特殊的一次函数。
3.对于正比例函数,y除以x的商是一定数(x≠0)。对于反比例函数,x与y的积是一定数。
4.在两个一次函数表达式中:
当两个一次函数表达式中的k相同,b也相同时,则这两个一次函数的图像重合;
当两个一次函数表达式中的k相同,b不相同时,则这两个一次函数的图像平行;
当两个一次函数表达式中的k不相同,b也不相同时,则这两个一次函数的图像相交;
当两个一次函数表达式中的k不相同,b相同时,则这两个一次函数图像交于y轴上的同一点(0,b);
当两个一次函数表达式中的k互为负倒数时,则这两个一次函数图像互相垂直。
5.两个一次函数(y1=ax+b, y2=cx+d)之比,得到的新函数y3=(ax+b)/(cx+d)为反比例函数,渐近线为x=-b/a,y=c/a。
6.直线y=kx+b的图象和性质与k、b的关系如下表所示:
k>0,b>0经过第一、二、三象限
k>0,b<0经过第一、三、四象限
k>0,b=0经过第一、三象限
【k>0时,图象从左到右上升,y随x的增大而增大】
k<0b>0经过第一、二、四象限
k<0,b<0经过第二、三、四象限
K<0,b=0经过第二、四象限
【k<0图象从左到右下降,y随x的增大而减小】
概念
在某一个变化过程中,设有两个变量x和y,如果可以写成y=kx+b(k为一次项系数,k≠0,b为常数),那么我们就说y是x的一次函数,其中x是自变量,y是因变量。
图像
(1)列表:表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。
(2)描点:在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点。
一般地,y=kx+b(k≠0)的图象过(0, b)和(-b/k, 0)两点即可画出。
正比例函数y=kx(k≠0)的图象是过坐标原点的一条直线,一般取(0, 0)和(1, k)两点画出即可。
(3)连线: 按照横坐标由小到大的顺序把描出的各点用直线连接起来。
www.gaofen123.com特殊位置关系
当平面直角坐标系中两直线平行时,其函数解析式中k的值(即一次项系数)相等;
当平面直角坐标系中两直线垂直时,其函数解析式中k的值互为负倒数(即两个k值的乘积为-1)
注意:与y轴平行的直线没有函数解析式,与x轴平行的直线的解析式为常函数,故上述性质中这两种直线除外。
函数的应用
概括整合
(1)简单的一次函数问题:①建立函数模型的方法;②分段函数思想的应用。
(2)理清题意是采用分段函数解决问题的关键。
常用公式:
1.求函数图像的k值:(y1-y2)/(x1-x2)
2.求与x轴平行线段的中点:(x1+x2)/2
3.求与y轴平行线段的中点:(y1+y2)/2
4.求任意线段的长:√[(x1-x2)2+(y1-y2)2]
5.求两个一次函数式图像交点坐标:解两函数式
两个一次函数 y1=k1x+b1,y2=k2x+b2,令y1=y2,得k1x+b1=k2x+b2。将解得的x=x0值代回y1=k1x+b1,y2=k2x+b2两式的任一式,得到y=y0,则(x0, y0)即为 y1=k1x+b1与y2=k2x+b2之交点坐标。
6.求任意2点所连线段的中点坐标:( (x1+x2)/2, (y1+y2)/2 )
7.求任意2点的连线的一次函数解析式:(x-x1)/(x1-x2)=(y-y1)/(y1-y2) (若分母为0,则分子为0)
(x,y)为 +,+(正,正)时该点在第一象限
(x,y)为 -,+(负,正)时该点在第二象限
(x,y)为 - ,-(负,负)时该点在第三象限
(x,y)为 +,-(正,负)时该点在第四象限
8.若两条直线y1=k1x+b1,y2=k2x+b2互相平行,则k1=k2,b1≠b2
9.如两条直线y1=k1x+b1,y2=k2x+b2互相垂直,则k1×k2=-1
10.设原直线为y=kx+b
y=k(x-n)+b就是直线向右平移n个单位
y=k(x+n)+b就是直线向左平移n个单位
y=kx+b+n就是向上平移n个单位
y=kx+b-n就是向下平移n个单位
口决:左加右减相对于X,上加下减相对于b。
11.直线y=kx+b与x轴的交点:(-b/k,0),与y轴的交点:(0,b)
www.gaofen123.com生活中的应用
1.当时间t一定,距离s是速度v的一次函数。s=vt。
2.如果水池抽水速度f一定,水池里水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
3.当弹簧原长度b(未挂重物时的长度)一定时,弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数,即y=kx+b(k为任意正数)
典型例题
函数问题1
已知正比例函数 ,则当k≠0时,y随x的增大而减小。
解:根据正比例函数的定义和性质,得 k<0。
函数问题2
已知点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)是一次函数y=3x+4的图象上的两个点,且y1>y2,则x1与x2的大小关系是( )
A. x1>x2 B. x1<x2 C. x1=x2 D.无法确定
解:根据题意,知k=3>0,且y1>y2。根据一次函数的性质“当k>0时,y随x的增大而增大”,得x1>x2。
故选A。
函数问题3
一次函数y=kx+b满足kb>0,且y随x的增大而减小,则此函数的图象不经过( )
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解:由kb>0,知k、b同号。因为y随x的增大而减小,所以k<0,从而b<0。
故一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限,不经过第一象限。故选A .
函数问题4
一个弹簧,不挂物体时长12cm,挂上物体后会伸长,伸长的长度与所挂物体的质量成正比例。如果挂上3kg物体后,弹簧总长是13.5cm,求弹簧总长是y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数关系式.如果弹簧最大总长为23cm,求自变量x的取值范围.
分析:此题由物理的定性问题转化为数学的定量问题,同时也是实际问题,其核心是弹簧的总长是空载长度与负载后伸长的长度之和,而自变量的取值范围则可由最大总长→最大伸长→最大质量及实际的思路来处理.
解:由题意设所求函数为y=kx+12
则13.5=3k+12
解之,k=0.5
∴y与x的函数关系式为y=0.5x+12
由题意,得:23=0.5x+12x=22
解之,x=22
∴自变量x的取值范围是0≤x≤22
www.gaofen123.com函数问题5
某学校需刻录一些电脑光盘,若到电脑公司刻录,每张需8元,若学校自刻,除租用刻录机120元外,每张还需成本4元,问这些光盘是到电脑公司刻录,还是学校自己刻费用较省?
此题要考虑X的范围
解:设总费用为Y元,刻录X张
则电脑公司:Y1=8X 学校 :Y2=4X+120
当X=30时,Y1=Y2
当X>30时,Y1>Y2
当X<30时,Y1<Y2
函数问题6
(1)y与x成正比例函数,当 y=5时,x=2.5,求这个正比例函数的解析式.
(2)已知一次函数的图象经过A(-1,2)和B(3,-5)两点,求此一次函数的解析式.
解:(1)设所求正比例函数的解析式为 y=kX
把 y=5,x=2.5代入上式 得 ,5=2.5k
解之,得k=2
∴所求正比例函数的解析式为 y=2X
(2)设所求一次函数的解析式为y=kx+b
∵此图象经过A(-1,2)、B(3,-5)两点,此两点的坐标必满足y=kx+b ,将x=-1 、y=2和x=3、y=-5 分别代入上式,得 2=-k+b,-5=3k+b
解得 k=-7/4,b=1/4
∴此一次函数的解析式为y=-7x/4+1/4
点评:(1) 不能化成带分数.(2)所设定的解析式中有几个待定系数,就需根据已知条件列几个方程.
函数问题7
拖拉机开始工作时,油箱中有油20升,如果每小时耗油5升,求油箱中的剩余油量Q(升)与工作时间t(时)之间的函数关系式,指出自变量t的取值范围,并且画出图象.