证法9
从这张图可以得到一个矩形和三个三角形，推导公式如下：
b (a + b)= 1/2c2; + ab + 1/2(b + a)(b - a) 矩形面积 =(中间三角形)+(下方)2个直角三角形+(上方)1个直 角三角形。 (简化) 2ab + 2b2;= c2; + b2;- a2;+ 2ab 2b2; - b2;+ a2;= c2; a2; + b2;= c2; 注：根据加菲尔德图进一步得到的图形。
简介
勾股定理是余弦定理的一个特例。这个定理在中国又称为“商高定理”，在外国称为“毕达哥拉斯定理”或者“百牛定理“。(毕达哥拉斯发现了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”)，法国、比利时人又称这个定理为“驴桥定理”。他们发现勾股定理的时间都比中国晚，中国是最早发现这一几何宝藏的国家。初二学生学，教材的证明方法采用赵爽弦图，证明使用青朱出入图。 勾股定理是一个基本的几何定理，它是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，是数形结合的纽带之一。 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果用a、b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2。
勾股定理指出
直角三角形两直角边(即“勾”“股”短的为勾，长的为股)边长平方和等于斜边(即“弦”)边长的平方。 也就是说设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么 a的平方+b的平方=c的平方 a2+b2=c2 勾股定理现发现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。 中国古代著名数学家商高说：“若勾三，股四，则弦五。”它被记录在了《九章算术》中。
勾股数组
满足勾股定理方程a2+b2=c2;的正整数组(a，b，c)。例如(3，4，5)就是一组勾股数组。 由于方程中含有3个未知数，故勾股数组有无数多组。 勾股数组的通式： a=M2-N2 b=2MNc=M^2+N^2 (M>N,M,N为正整数)
【推广】
⒈如果将直角三角形的斜边看作二维平面上的向量，将两直角边看作在平面直角坐标系坐标轴上的投影，则可以从另一个角度考察勾股定理的意义。即，向量长度的平方等于它在其所在空间一组正交基上投影长度的平方之和。 2.勾股定理是余弦定理的特殊情况。勾股定理
曲安京：商高、赵爽与刘徽关于勾股定理的证明。刊于《数学传播》20卷， 台湾， 1996年9月第3期， 20-27页。 周髀算经， 文物出版社，1980年3月， 据宋代嘉定六年本影印，1-5页。 陈良佐：周髀算经勾股定理的证明与出入相补原理的关系。刊於《汉学研究》，1989年第7卷第1期， 255-281页。 李国伟：论「周髀算经」“商高曰数之法出于圆方”章。刊於《第二届科学史研讨会汇刊》，台湾， 1991年7月， 227-234页。 李继闵：商高定理辨证。刊於《自然科学史研究》，1993年第12卷第1期，29-41页。
【毕达哥拉斯树】
毕达哥拉斯树是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的图形。又因为重复数次后 的形状好似一棵树，所以被称为毕达哥拉斯树。 直角三角形两个直角边平方的和等于斜边的平方。 两个相邻的小正方形面积的和等于相邻的一个大正方形的面积。 利用不等式A2+B2≥2AB可以证明下面的结论： 三个正方形之间的三角形，其面积小于等于大正方形面积的四分之一，大于等于一个小正方形面积的二分之一
【最早应用】
从很多泥板记载表明，巴比伦人是世界上最早发现“勾股定理”的，这里只举一例。例如公元前1700年的一块泥板(编号为BM85196)上第九题，大意为“有一根长为5米的木梁(AB)竖直靠在墙上，上端(A)下滑一米至D。问下端(C)离墙根(B)多远?”他们解此题就是用了勾股定理，如图 设AB=CD=l=5米，BC=a，AD=h=1米，则BD=l-h=5-1米=4米 ∵a=√[l2-(l-h)2]=√[52-(5-1)2]=3米，∴三角形BDC正是以3、4、5为边的勾股三角形。《周髀算经》中勾股定理的公式与证明 《周髀算经》算经十书之一。约成书于公元前二世纪，原名《周髀》，它是中国最古老的天文学著作，主要阐明当时的盖天说和四分历法。唐初规定它为国子监明算科的教材之一，故改名《周髀算经》。 首先，《周髀算经》中明确记载了勾股定理的公式：“若求邪至日者，以日下为句，日高为股，句股各自乘，并而开方除之，得邪至日”(《周髀算经》上卷二) 而勾股定理的证明呢，就在《周髀算经》上卷一—— 昔者周公问于商高曰：“窃闻乎大夫善数也，请问昔者包牺立周天历度——夫天可不阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出?” 商高曰：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下者，此数之所生也。” 周公对古代伏羲(包牺)构造周天历度的事迹感到不可思议(天不可阶而升，地不可得尺寸而度)，就请教商高数学知识从何而来。于是商高以勾股定理的证明为例，解释数学知识的由来。 《周髀算经》证明步骤
“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。”：解释发展脉络——数之法出于圆(圆周率三)方(四方)，圆出于方(圆形面积=外接正方形*圆周率/4)，方出于矩(正方形源自两边相等的矩)，矩出于九九八十一(长乘宽面积计算依自九九乘法表)。 “故折矩①，以为句广三，股修四，径隅五。”：开始做图——选择一个 勾三(圆周率三)、股四(四方) 的矩，矩的两条边终点的连线应为5(径隅五)。 “②既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。”：这就是关键的证明过程——以矩的两条边画正方形(勾方、股方)，根据矩的弦外面再画一个矩(曲尺，实际上用作直角三角)，将“外半其一矩”得到的三角形剪下环绕复制形成一个大正方形，可看到其中有 边长三勾方、边长四股方、边长五弦方 三个正方形。 “两矩共长③二十有五，是谓积矩。”：此为验算——勾方、股方的面积之和，与弦方的面积二十五相等——从图形上来看，大正方形减去四个三角形面积后为弦方，再是 大正方形 减去 右上、左下两个长方形面积后为 勾方股方之和。因三角形为长方形面积的一半，可推出 四个三角形面积 等于 右上、左下两个长方形面积，所以 勾方+股方=弦方。 注意： ① 矩，又称曲尺，L型的木匠工具，由长短两根木条组成的直角。古代“矩”指L型曲尺，“矩形”才是“矩”衍生的长方形。 ② “既方之，外半其一矩”此句有争议。清代四库全书版定为“既方其外半之一矩”，而之前版本多为“既方之外半其一矩”。经陈良佐、李国伟、李继闵、曲安京等学者研究，“既方之，外半其一矩”更符合逻辑。 ③ 长指的是面积。古代对不同维度的量纲比较，并没有发明新的术语，而统称“长”。赵爽注称：“两矩者， 句股各自乘之实。共长者，并实之数。 由于年代久远，周公弦图失传，传世版本只印了赵爽弦图(造纸术在汉代才发明)。所以某些学者误以为商高没有证明(只是说了一段莫名其妙的话)，后来赵爽才给出证明。 其实不然，摘录赵爽注释《周髀算经》时所做的《句股圆方图》——“句股各自乘， 并之为弦实，开方除之即弦。案：弦图又可以句股相乘为朱实二， 倍之为朱实四，以句股之差自相乘为中黄实， 加差实亦成弦实。” 赵爽弦图
注意“案”中的“弦图又可以”、“亦成弦实”，“又”“亦”二字表示赵爽认为勾股定理还可以用另一种方法证明，于是他给出了新的证明。 下为赵爽证明—— 青朱出入图
三角形为直角三角形，以勾a为边的正方形为朱方，以股b为边的正方形为青方。以盈补虚，将朱方、青方并成弦方。依其面积关系有A2+B2=C2.由于朱方、青方各有一部分在玄方内，那一部分就不动了。 以勾为边的的正方形为朱方，以股为边的正方形为青方。以盈补虚，只要把图中朱方(A2)的I移至I′，青方的Ⅱ移至Ⅱ′，Ⅲ移至Ⅲ′，则刚好拼好一个以弦为边长的正方形(C……2).由此便可证得a2+b2=c2。
【加菲尔德】
1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使，加菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是加菲尔德 便问他们在干什么?那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢?”加菲尔德答道：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少?”加菲尔德不假思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方.”小男孩说：“先生，你能说出其中的道理吗?”加菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。加菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。 如下： 解：在网格内，以两个直角边为边长的小正方形面积和，等于以斜边为边长的正方形面积。 勾股定理的内容：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方， a^2+b^2=c^2; 说明：中国古代学者把直角三角形的较短直角边称为“勾”，较长直角边为“股”，斜边称为“弦”，所以把这个定理称为“勾股定理”。勾股定理揭示了直角三角形边之间的关系。 举例：如直角三角形的两个直角边分别为3、4，则斜边c的平方;= a的平方+b的平方=9+16=25即c=5 则说明斜边为5。
【练习题】
1.在一个直角三角形中，它的一斜边为5，另两边的其中一边是3，求另一边?
2.列能确定为直角三角形的是()
A、三边是5，6，7 B、三边是6、8、10 C、三边是6，7，8 D、三边是2，2，1
3.直角三角形的一条直角边和斜边分别为3和5.求另一直角边
【参考答案】
1.3 2.C 3.4
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