相似三角形概念、知识点及练习题

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　　【性质与概念】

　　性质：

　　(1)相似三角形的对应角相等。

　　(2)相似三角形的对应边成比例。

　　(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

　　(4)相似三角形的周长比等于相似比。

　　(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。

　　判定：

　　1)预备定理

　　平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。(这是相似三角形判定的定理，是以下判定方法证明的基础。这个引理的证明方法需要平行线与线段成比例的证明)

　　2)定义判定

　　对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

　　判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似(AA)

　　判定定理2：如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似(SAS)

　　判定定理3：如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似(SSS)

　　判定定理4：两三角形三边对应垂直，则两三角形相似。

　　判定定理5：两个直角三角形中，斜边与直角边对应成比例，那么两三角形相似。

　　其他判定：由角度比转化为线段比：h1/h2=Sabc

　　3)判定定理基本判定

　　(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

　　(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。)

　　(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。(简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。)

　　(4)如果两个三角形的两个角分别对应相等(或三个角分别对应相等)，那么这两个三角形相似。

　　4)直角三角形判定

　　(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。

　　(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

　　5)一定相似

　　1.两个全等的三角形

　　全等三角形是特殊的相似三角形，相似比为1：1

　　2.任意一个顶角或底角相等的两个等腰三角形

　　两个等腰三角形，如果其中的任意一个顶角或底角相等，那么这两个等腰三角形相似。

　　3.两个等边三角形

　　(两个等边三角形，三个内角都是60度，且边边相等，所以相似)

　　4.直角三角形中由斜边的高形成的三个三角形

　　由于斜边的高形成两个直角，再加上一个公共的角，所以相似。

　　定理推论：

　　推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。

　　推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。

　　推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。

　　推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。

　　推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。

　　推论六：如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。

　　【练习题】

　　选择题：

　　1. 已知直角三角形三边分别为a,a+b,a+2b,(a>0,b>0)，则?a:b( )

　　A、1：3 B、1：4 C、2：1 D、3：1

　　2. △ABC中，AB=12，BC=18，CA=24，另一个和它相似的三角形最长的一边是36，则最短的一边是( )

　　A、27 B、12 C、18 D、20

　　3. 已知a,b,c是△ABC的三条边，对应高分别为Ha,Hb,Hc，且a:b:c=4:5:6，那么Ha:Hb:Hc等于( )

　　A、4：5：6 B、6：5：4 C、15：12：10 D、10：12：15

　　4. 一个三角形三边长之比为4：5：6，三边中点连线组成的三角形的周长为30cm，则原三角形最大边长为( )

　　A、44厘米 B、40厘米 C、36厘米 D、24厘米

　　【参考答案】

　　选择题：

　　1.C

　　2.C

　　3.A

　　4.D

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