空间几何体概念、知识点及练习题

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　　【概念及知识点】

　　一、基本概念

　　构成空间几何体的基本元素

　　点：点动成线(曲线或直线，不绝对为直线)

　　线：线动成面(曲面或平面，为平面，固定射线的端点，能形成锥面)

　　面：面动成体

　　在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分。如果我们只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体。

　　二、基本空间几何体

　　多面体

　　概念：多面体是由若干个平面多边形所围成的几何体

　　结构特征：围成多面体的各个多边形叫做多面体的面;相邻两个面的公共边叫做多面体的棱;棱和棱的公共点叫做多面体的顶点;连接不在同一个面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线。

　　分类：把一个多面体的任意一个面延展为平面，

　　如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体就叫凸多面体;

　　如果其余的各面不都在这个平面的同一侧，则这样的多面体叫凹多面体。

　　1、棱柱

　　定义：棱柱有两个面互相平行、而其余每相邻两个面的交线都互相平行。

　　棱柱的两个互相平行的面叫做棱柱的底面;其余个面叫做棱柱的侧面;两侧面的公共边叫棱柱的侧棱;棱柱两底面之间的距离、叫棱柱的高。

　　侧棱与底面不垂直的棱柱叫斜棱柱;侧棱与底面垂直的棱柱的叫直棱柱;底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱;底面是平行四边形的棱柱叫平行六面体;侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体;底面是矩形的直平行六面体是长方体;棱长都相等的长方体是正方体。

　　2、棱锥

　　定义：棱锥有一个面是多边形，而其余个面都是有一个公共顶点的三角形。

　　棱锥中有公共顶点的各三角形叫棱锥的侧面;各侧面的公共顶点叫棱锥的顶点;相邻两侧面的公共边叫棱锥的侧棱;多边形叫棱锥的底面;顶点到底面的距离叫棱锥的高。

　　棱锥用表示顶点和地面各顶点的字母或者用表示顶点和底面的一条对角线短点的字母来表示、例如：S-ABCD。

　　如果棱锥的底面是正多边形、它的顶点又在过底面中心且与底面垂直的直线上、则这个棱锥叫做正棱锥。

　　容易验证：正棱锥各侧面都是全等的等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高都相等，叫做棱锥的斜高。

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　　3、棱台

　　定义：棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫棱台。

　　原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面、上底面;其他各面叫棱台的侧面;相邻两侧面的公共边叫棱台的侧棱;两底面间的距离叫棱台的高。

　　由正棱锥截得的棱台叫正棱台，

　　正棱台各侧面都是全等的等腰梯形、这些等腰梯形的高叫棱台的斜高，

　　棱台可用表示上下底面的字母来命名、例如：ABCD-A'B'C'D'。

　　旋转体

　　定义：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面;该定直线叫做旋转体的轴;封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体。

　　1、圆柱

　　定义：可以看做以矩形的一边为旋转轴、旋转一周形成的曲面所围成的几何体。

　　旋转轴叫做圆柱的轴;旋转所形成两个圆叫做圆柱的底面，所形成的曲面叫做圆柱的侧面;上底面到下底面的距离叫做圆柱的高;沿圆柱表面从上底面到下底面且垂直底面的任何一条线叫做圆柱体的母线。

　　2、圆锥

　　定义：可以看做以直角三角形的一直角边为旋转轴、旋转一周形成的曲面所围成的几何体。

　　圆锥的顶点到圆锥的底面圆心之间的距离叫做圆锥的高;圆锥的侧面展开形成的扇形的半径、底面圆周上任意一点到顶点的距离叫做圆锥的母线。

　　3、圆台

　　定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。也可以看做以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴、旋转一周形成的曲面所围成的几何体

　　旋转轴叫做圆台的轴;直角梯形上、下底旋转所成的圆面称为圆台的上、下底面，另一腰旋转所成的曲面称为圆台的侧面;侧面上各个位置的直角梯形的腰称为圆台的母线;圆台的轴上的梯形的腰的长度叫做圆台的高，圆台的高也是上、下底面间的距离。

　　4、球

　　定义：一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面所围成的几何体

　　形成球的半圆的圆心叫球心;连接球面上一点和球心的线段叫球的半径;连接球面上两点且通过球心的线段叫球的直径、

　　球面也可以看作空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合

　　三、表面积计算

　　1、直棱柱和正棱锥的表面积

　　设棱柱高为h、底面多边形的周长为c、则得到直棱柱侧面面积计算公式：

　　S=ch、即直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积、

　　正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形、底面是正多边形、

　　如果设它的底面边长为a、底面周长为c、斜高为h'、则得到正n棱锥的侧面积计算公式

　　S=1/2*nah'=1/2*ch'、即正棱锥的侧面积等于它的底面的周长和斜高乘积的一半、

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　　2、正棱台的表面积

　　正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形、

　　设棱台下底面边长为a、周长为c、上底面边长为a'、周长为c'、斜高为h'则得到正n棱台的侧面积公式： S=1/2*n(a+a')h'=1/2(c+c')h'、

　　3、球的表面积

　　S=4πR^2、即球面面积等于它的大圆面积的四倍、

　　4.圆台的表面积

　　圆台的侧面展开图是一个扇环，它的表面积等于上，下两个底面的面积和加上侧面的面积，即

　　S=π(r'^2+r^2+r'l+rl)

　　四、体积计算

　　1、长方体体积

　　V=abc=Sh

　　2、棱柱体积

　　柱体

　　V=Sh、即柱体的体积等于它的底面积S和高h的积、

　　圆柱

　　V=πr^2h、

　　3、棱锥

　　V=1/3*Sh

　　4、圆锥

　　V=1/3*πr^2h

　　5、棱台

　　V=1/3*h(S+(√SS')+S')

　　6、圆台

　　V=1/3*πh(r^2+rr'+r'^2)

　　7、球

　　V=4/3*πR^3

　　【练习题】

　　1、一个棱柱是正四棱柱的条件是( )

　　A、底面是正方形，有两个侧面是矩形

　　B、底面是正方形，有两个侧面垂直于底面

　　C、底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直

　　D、每个侧面都是全等矩形的四棱柱

　　2、底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )

　　3、已知棱台的上下底面面积分别为4，16，高为3，则该棱台的体积为______

　　【参考答案】

　　1.D

　　2.D

　　3.28

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