巧用“假设法”解题例举

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　　假设法，就是根据题目中的已知条件或结论作出某种假设，把复杂问题化为简单问题处理。它是一种重要的数学思维方法，在解答数学问题时有着广泛的应用。一些数量关系比较隐蔽的应用题，用常规方法思考往往很难解答，然而巧用假设法却常能使隐蔽复杂的数量关系明朗化、简单化，从而迅速找到解题的思路。同时，由于假设的策略不同，因而解题思路各异。
　　一、求同存异
　　例1　学校食堂上午买来2袋面粉和5袋大米共550千克，下午买来3袋面粉和4袋大米共重510千克。每袋面粉、每袋大米各重多少千克?
　　本题难在上午、下午买面粉和大米的袋数都不相同，用假设法可促使面粉袋数相同，大米袋数相异，从两个差(大米袋数的差和总重量的差)来寻求问题的答案。为了说明问题，列表如下：
　　经过以上处理，面粉袋数由原来的不同变为相同，从大米袋数、总重量的两个差可以求出每袋大米的重量。从表中可知，7袋大米重630千克，即每袋大米的重量为630÷7=90(千克)，每袋面粉的重量为(550-90×5)÷2=50(千克)。
　　二、虚实并举
　　例2　甲、乙两人七月份共生产零件1000个。甲八月份比七月份增产25％，而乙增产20％，两人共生产零件1224个，甲、乙八月份各生产多少个零件？
　　这道题没有给出甲、乙七月份各生产零件的个数，学生会感到“山重水复疑无路”，运用假设就可“柳暗花明又一村”。假设两人八月份都增产25％(甲为实，乙为虚)。则八月份共应生产1000×(1+25％)=1250(个)零件，比实际多生产1250-1224=26(个)零件，这正好相当于乙月份生产零件数的(25％-20％)。于是，可求得乙八月份生产零件为26÷(25％－20％)=520(个)，甲八月份生产的零件数也就可以求出。当然也可假设两人八月份都增加20％(甲为虚，乙为实)，解法略。
　　三、引实避虚
　　例3小张每天读书的页数比小刘多1/4，有一本书小张8天读完。小刘几天可以读完？
　　就此题而言，学生在未学比例知识之前，要弄清在一本书总页数一定时，每天读页数和所需天数之间的关系有一定难度。况且题中又未给出小张(或小刘)每天读出的页数，这就更增加了解题难度。这时就可采用引实避虚的方法，假设小刘每天读书的页数已知，如“小刘每天读书12页”，可求出小张每天读书12×(1+1/4)=15(页)。小张8天读完一本书，小刘只需要15×8÷12=10(天)读完。
　　四、数形双飞
　　例4　一个长方形的周长是36米，如果它的长和宽各增加2米，面积增加多少平方米？
　　从“长方形周长是36米”这一条件，学生容易求得长、宽之和为36÷2=18(米)。但题中未给出长和宽之间的关系，学生不知从何下手。这时，可引导学生根据长方形长、宽之和为18米这一条件，长、宽的具体数据完全可以假设，如长10米、宽8米，再结合图形就可使题目顺利获解。
　　也可假设将B剪下，接在C的后面，如图(2)。不难发现ABC组成一个长方形，这个长方形的长是原长方形的长宽之和18米加上2米即20米，因此面积增加20×2=40(平方米)。
　　例5　已知正方形面积为8平方厘米，求正方形内圆的面积是多少平方厘米?
　　学生无法根据所学的知识求出正方形的边长(也就是圆的直径)，可先假设正方形面积为1，根据假设可以求出圆的面积为(1÷2)²×π＝π/4，然后根据已知正方形面积与假设正方形面积的倍数关系，求出正方形内圆的面积为π/4×8=2π≈6．28(平方厘米)。
　　五、殊途同归
　　例6　有甲、乙两人，甲开客车每小时行80千米。乙开卡车每小时行72千米。今两人同行某一段路程，乙比甲多行4小时，这段路长多少千米?
　　(1)可假设甲到达目的地时两人同时停止前进，这时乙距目的地(即甲比乙多行)72×4=288(千米)，除以两人速度差，可得甲行这段路程所需的时间为288÷(80-72)=36(小时)，所以这段路程长为80×36=2880(千米)。
　　(2)也可假设乙到目的地时两人同时停止前进。这时甲超过目的地，即乙比甲少行80×4=320(千米)，除以两人的速度差，可得乙行这段路程所需的时间，然后再算出这段路程的长度。
　　六、突破封锁
　　例7　有两个长方形，第一个长方形长是5厘米，第二个长方形长是4厘米，它们面积之和是42平方厘米。如果不改变每个长方形的宽，把第一个长方形的长扩大2倍，把第二个长方形的长增加1厘米，那么两个新长方形的面积之和比原来的大33平方厘米。求原来长方形的宽是多少?
　　乍看这道题似乎很难找到解题的突破口，根据题意，可这样考虑

　 www.gaofen123.com ：因为两个长方形的宽都没有变，可假设两个长方形的长都扩大2倍，那么面积也扩大2倍，即面积增加42平方厘米，但实际只增加33平方厘米。是什么原因呢?观察发现第二个长方形的长不是扩大2倍，而是增加1厘米，即第二个长方形的长增加1厘米比扩大2倍增加的面积要少42-33=9(平方厘米)。也就是说第二个长方形的长(1)×宽比长(4)×宽要少9平方厘米，即4宽－1宽=9，宽=3(厘米)。这样，第二个长方形的宽获解，由此可求出第一个长方形的宽是6厘米。