等边三角形概念、知识点及练习题

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　　【性质与概念】

　　性质

　　(1)等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。

　　(2)等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合(三线合一)

　　(3)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线 或角的平分线所在的直线。

　　(4)等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。(四心合一)

　　(5)等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)

　　(6)等边三角形拥有等腰三角形的一切性质。(因为等边三角形是特殊的等腰三角形

　　概念

　　等边三角形(又称正三角形)，为三边相等的三角形，其三个内角相等，均为60°，它是锐角三角形的一种。有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形。

　　尺规作法

　　可以利用尺规作图的方式画出正三角形，其作法相当简单：先用尺画出一条任意长度的线段(这条线段的长度决定等边三角形的边长)，再分别以线段二端点为圆心、线段为半径画圆，二圆汇交于二点，任选一点，和原来线段的两个端点画线段，则这二条线段和原来线段即构成一正三角形。

　　判定方法

　　(1)三边相等的三角形是等边三角形(定义).

　　(2)三个内角都相等(为60度)的三角形是等边三角形.

　　(3)有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形.

　　(4) 两个内角为60度的三角形是等边三角形.

　　说明:可首先考虑判断三角形是等腰三角形。

　　等边三角形的性质与判定理解：

　　首先，明确等边三角形定义。三边相等的三角形叫做等边三角形，也称正三角形。

　　其次，明确等边三角形与等腰三角形的关系。等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。

　　复数性质

　　A，B，C三点的复数构成正三角形 等价于 A+wB+w2C=0 。

　　其中w=cos(2π/3)+isin(2π/3) ;1+w+w2=0。

　　相关公式

　　h=a sin60°=1/2 √3a

　　r=1/2 a cot(π/3)=1/2 a tan(π/6)=1/6 √3a

　　R=1/2 a csc(π/3)=1/2 a sec(π/6)=1/3 √3a

　　S=1/4 na²cot(π/3)=1/4 √3a²

　　Sr= πr²=1/12πa²;表示内切圆面积，

　　SR=πR²=1/3πa²;表示外接圆面积。

　　例：试证等边三角形的高和其边长的比为 √(3/4)：1

　　证明：

　　作等边三角形的一条高，将等边三角形分为两个全等的直角三角形，

　　设这个等边三角形的边长为a，则其中一个直角三角形一条直角边长为1/2a，斜边为a(即该等边三角形.由勾股定理，(直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方)，得另一条直角边(即该等边三角形的高)为 √a^2-(1/2a)^2 = √(3/4a) ，即证.

　　由上，可推导出等边三角形的面积公式：

　　S=1/2ah= (1/2)a×[√(3/4a)]=[(√3)/4]×a^2

　　举例证明

　　有关问题的证明

　　已知：△ABC中，∠A=60°，且AB+AC=a，

　　求证：当三角形的周长最短时，三角形是等边三角形。

　　证明：AC=a-AB

　　根据余弦定理

　　BC2=AB2+BC2-2AB*BC*cosA

　　BC2=AB2+BC2-AB*BC=AB2+(a-AB)2-AB*(a-AB)=3AB2-3a*AB+a2=3(AB-a/2)2+a2/4

　　所以当AB=a/2时，BC=a/2最小

　　AC=a-a/2=a/2

　　这时，周长为AB+AC+BC=a+BC=a+a/2=3a/2最短

　　AB=AC=BC=a/2

　　所以当周长最短时的三角形是正三角形。

　　【练习题】

　　1.等边三角形是轴对称图形，它有_________条对称轴。

　　2.若等腰三角形腰上的中线垂直于腰，则这个三角形是_________三角形。

　　3.若一个三角形有两个外角都是120°，则这个三角形是__________三角形。

　　【参考答案】

　　1.3

　　2.等边

　　3..等边

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