初三数学：圆的知识点

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　　1.圆的定义

　　圆的定义有两个：

　　其一：平面上到定点 的距离等于定长的所有点所组成的图形叫圆。

　　其二：平面上一条线段，绕它固定的一个端点O旋转360°，它的另一端留下的轨迹叫圆。

　　2.圆的其他相关量

　　①圆心与半径：（如定义）固定的端点O即为圆心，用字母 来表示，记作⊙O；定义中的定长即为半径，用字母r表示；

　　②弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。圆中最长的弦为直径；

　　③圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧；

　　④圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角；

　　⑤等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。

　　3.垂径定理及其推论

　　①定理

　　如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。

　　②推论（四条）

　　推论一：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；

　　推论二：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧；

　　推论三：平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦，并且平分这条弦所对的另一条弧

　　推论四：在同圆或者等圆中，两条平行弦所夹的弧相等。

　　4.圆心角与圆周角

　　（1）定义

　　①圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角；

　　②圆周角：顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角。

　　（2）定理及推论

　　①圆心角

　　定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

　　推论一：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等；

　　推论二：在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等。

　　②圆周角

　　定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

　　推论一：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；

　　推论二：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等；

　　推论三：圆内接四边形的对角互补。

　　5.点与圆的位置关系

　　（1）点和圆的位置关系

　　点和圆的位置关系相对较为简单，可分为三种情况：圆内、圆上和圆外。

　　一般情况下，判断点和圆的位置关系，以点到圆心的距离和圆半径之间的大小为依据，假设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则点P与⊙O的位置关系可表示如下：

　　点P 在⊙O 外 等价于d ＞r

　　点P 在⊙O 上 等价于d ＝r

　　点P 在⊙O 内 等价于d ＜r

　　（2）不在同一直线上的三个点确定一个圆

　　不在同一直线上的三个点确定一个圆。根据这一定理，我们可以经过任意三角形的三个顶点做一个圆，这个圆就叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做该三角形的外心。

　　（3）反证法

　　不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立。这种证明方法就叫做反证法。

　　6.直线与圆的位置关系

　　直线与圆的位置关系可分为三种：相交、相切和相离，详述如下：

　　（1）相交

　　直线和圆有两个公共点，则直线与圆相交，这条直线叫做圆的割线。

　　（2）相切

　　直线和圆只有一个公共点，则直线与圆相切，该直线叫做圆的切线，该公共点叫做切点。

　　（3）相离

　　即直线和圆没有公共点。

　　假设⊙O 的半径为r ，直线l 到圆心O 的距离为d ，根据上述定义，可以得到：

　　直线l 和⊙O 相交 等价于d ＜r

　　直线l 和⊙O 相切 等价于d ＝r

　　直线l 和⊙O 相离 等价于d ＞r

　　7.关于切线的定理

　　（1）切线的定义

　　如果一条直线和圆只有一个公共点，那么这条直线和圆相切，直线就叫做圆的切线，公共点即为切点。

　　（2）切线判定定理

　　经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

　　（3）切线性质定理

　　圆的切线垂直于过切点的半径。

　　（4）切线长

　　经过圆外一点做圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。

　　（5）切线长定理

　　从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

　　8.三角形内切圆

　　与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。另外还需知道一点，即三角形的内心到三角形三边的距离相等，也就是三角形内切圆半径。

　　9.圆与圆的位置关系

　　圆与圆的位置关系主要可分为三种：相离、相切和相交，分述如下：

　　（1）相离

　　如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离；相离又分为外离和内含，两圆内含有一种特殊情况即两圆同心。

　　（2）相切

　　如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切；相切又可分为外切和内切。

　　（3）相交

　　两圆相交较为简单，即如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。

　　10.正多边形和圆

　　我们先来温习一下什么是正多边形——各边相等、各角也相等的多边形，我们称之为正多边形。

　　正多边形和圆的关系非常密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。

　　一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。

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