高二数学正弦定理测试题

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　　1.在△ABC中，A=60°，a=43，b=42，则(　　)

　　A.B=45°或135°　　　　　　　 B.B=135°

　　C.B=45° D.以上答案都不对

　　解析：选C.sin B=22，∵a>b，∴B=45°.

　　2.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=2，b=6，B=120°，则a等于(　　)

　　A.6 B.2

　　C.3 D.2

　　解析：选D.由正弦定理6sin 120°=2sin C⇒sin C=12，

　　于是C=30°⇒A=30°⇒a=c=2.

　　3.在△ABC中，若tan A=13，C=150°，BC=1，则AB=__________.

　　解析：在△ABC中，若tan A=13，C=150°，

　　∴A为锐角，sin A=110，BC=1，

　　则根据正弦定理知AB=BC•sin Csin A=102.

　　答案：102

　　4.已知△ABC中，AD是∠BAC的平分线，交对边BC于D，求证：BDDC=ABAC.

　　证明：如图所示，设∠ADB=θ，

　　则∠ADC=π-θ.

　　在△ABD中，由正弦定理得：

　　BDsin A2=ABsin θ，即BDAB=sinA2sin θ;①

　　在△ACD中，CDsin A2=ACsin?π-θ?，

　　∴CDAC=sinA2sin θ.②

　　由①②得BDAB=CDAC，

　　∴BDDC=ABAC.

　　一、选择题

　　1.在△ABC中，a=5，b=3，C=120°，则sin A∶sin B的值是(　　)

　　A.53 B.35

　　C.37 D.57

　　解析：选A.根据正弦定理得sin Asin B=ab=53.

　　2.在△ABC中，若sin Aa=cos Cc，则C的值为(　　)

　　A.30° B.45°

　　C.60° D.90°

　　解析：选B.∵sin Aa=cos Cc，∴sin Acos C=ac，

　　又由正弦定理ac=sin Asin C.

　　∴cos C=sin C，即C=45°，故选B.

　　3.(2010年高考湖北卷)在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cos B=(　　)

　　A.-223 B.223

　　C.-63 D.63

　　解析：选D.由正弦定理得15sin 60°=10sin B，

　　∴sin B=10•sin 60°15=10×3215=33.

　　∵a>b，A=60°，∴B为锐角.

　　∴cos B=1-sin2B=1-?33?2=63.

　　4.在△ABC中，a=bsin A，则△ABC一定是(　　)

　　A.锐角三角形 B.直角三角形

　　C.钝角三角形 D.等腰三角形

　　解析：选B.由题意有asin A=b=bsin B，则sin B=1，即角B为直角，故△ABC是直角三角形.

　　5.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A=π3，a=3，b=1，则c=(　　)

　　A.1 B.2

　　C.3-1 D.3

　　解析：选B.由正弦定理asin A=bsin B，可得3sinπ3=1sin B，

　　∴sin B=12，故B=30°或150°.

　　由a>b，得A>B，∴B=30°.

　　故C=90°，由勾股定理得c=2.

　　6.(2011年天津质检)在△ABC中，如果A=60°，c=4，a=4，则此三角形有(　　)

　　A.两解 B.一解

　　C.无解 D.无穷多解

　　解析：选B.因csin A=23<4，且a=c，故有唯一解.

　　二、填空题

　　7.在△ABC中，已知BC=5，sin C=2sin A，则AB=________.

　　解析：AB=sin Csin ABC=2BC=25.

　　答案：25

　　8.在△ABC中，B=30°，C=120°，则a∶b∶c=________.

　　解析：A=180°-30°-120°=30°，

　　由正弦定理得：

　　a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=1∶1∶3.

　　答案：1∶1∶3

　　9.(2010年高考北京卷)在△ABC中，若b=1，c=3，∠C=2π3，则a=________.

　　解析：由正弦定理，有3sin2π3=1sin B，

　　∴sin B=12.∵∠C为钝角，

　　∴∠B必为锐角，∴∠B=π6，

　　∴∠A=π6.

　　∴a=b=1.

　　答案：1

　　三、解答题

　　10.在△ABC中，已知sin A∶sin B∶sin C=4∶5∶6，且a+b+c=30，求a.

　　解：∵sin A∶sin B∶sin C=a2R∶b2R∶c2R=a∶b∶c，

　　∴a∶b∶c=4∶5∶6.∴a=30×415=8.

　　11.在△ABC中，角A，B，C所对的三边分别为a，b，c.已知a=5，b=2，B=120°，解此三角形.

　　解：法一：根据正弦定理asin A=bsin B，得sin A=asin Bb=5×322=534>1.所以A不存在，即此三角形无解.

　　法二：因为a=5，b=2，B=120°，所以A>B=120°.所以A+B>240°，这与A+B+C=180°矛盾.所以此三角形无解.

　　法三：因为a=5，b=2，B=120°，所以asin B=5sin 120°=532，所以basin B，所以此三角形无解.

　　12.在△ABC中，acos(π2-A)=bcos(π2-B)，判断△ABC的形状.

　　解：法一：∵acos(π2-A)=bcos(π2-B)，

　　∴asin A=bsin B.由正弦定理可得：a•a2R=b•b2R，

　　∴a2=b2，∴a=b，∴△ABC为等腰三角形.

　　法二：∵acos(π2-A)=bcos(π2-B)，

　　∴asin A=bsin B.由正弦定理可得：

　　2Rsin2A=2Rsin2B，即sin A=sin B，

　　∴A=B.(A+B=π不合题意舍去)

　　故△ABC为等腰三角形.

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