理解　感悟　提升——“倍数”与“因数”的教学片段及感想

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      片断一：在操作中理解
　　师：(多媒体出示课本中3个小朋友拼图的画面)我们也来用12个同样大的正方形拼成一个长方形，想一想，你能拼成几种?看一看，每排摆几个?摆了几排?用乘法算式把各自的摆法表示出来，然而同桌交流。
　　学生操作。教师巡视，一会儿，组织学生交流，出现积是12的不同乘法算式，即4×3=12，2×6=12，1×12=12。
　　师：现在我们一起来研究这3个乘法式子，根据4×3=12，联系我们以前学过的知识，你想到了什么呢?
　　生1：我想到了12÷3=4，12÷4=3。
　　生2：我还想到了12里面有4个3，12里面有3个4。
　　生3：我还想到了12是4的3倍，12是3的4倍。
　　师：那我们可以认为12是4的什么数?12是3的什么数呢?
　　生：12是4的倍数，12也是3的倍数。
　　师：那么反过来，4和3是12的什么数呢?
　　生：4和3都是12的因数。
　　师：说得好。既然我们能够根据4×3=12确定谁是谁的倍数，谁又是谁的因数，那根据6×2=12，你能说出哪个数是哪个数的倍数，哪个数又是哪个数的因数吗?根据12×1=12呢?
　　师：那我们能随便举一个算式，说一说谁是谁的倍数?谁是谁的因数吗?
　　[感想]本片断的设计充分利用学生已有的知识(如长方形的长、宽和面积之间的关系，乘除法的运算及对“倍”的理解)，开展操作、观察、联想等活动，有效地建立起倍数和因数的概念。首先引导学生操作。从12个同样的正方形拼成一个长方形入手，让学生在操作中观察，并用乘法算式表示各自的摆法；在交流的过程中，出现了乘积是12的3个乘法算式，进而重点研究4×3=12，“根据4×3=12，你想到了什么?”这一问题，为学生充分想象提供了平台。由“倍”的概念深入到“倍数”的概念，乘数就是相应积的因数的引入顺其自然，从而为学生深入理解“倍数和因数”的意义提供了可能。根据上面两个环节的认识，让学生依据“6×2＝12与12×1＝12”展开想象、讨论、交流，巩固加深对倍数与因数的理解。“你随便说一个算式，说明谁是谁的倍数，谁是谁的因数”，学生列举乘法或除法算式，准确表达倍数与因数的关系，加深了学生对倍数与因数相互依存关系的理解和认识。
　　片断二：在探究中感悟
　　师：刚才，我们一起研究已能发现：只要根据乘法或除法算式就能确定谁是谁的倍数，谁是谁的因数。如根据4×3＝12确定12是3的倍数，那么对于3的倍数是不是就只有一个数12呢?还有没有其他的呢?
　　接着出示：你能找出多少个3的倍数?让学生各自探究，并同桌相互交流。
　　师：现在我们一起来交流一下，3的倍数有哪些?
　　生1：3的倍数有6、9、18。
　　生2：还有30、33、45。
　　生3：3的倍数有许多，可以把3依次相加，就能得到6、9、12、15、18……
　　师：这位同学不仅能够找出许多3的倍数，而且还在探究找3的倍数的方法，了不起!那如何把3的倍数全部找出来?能不能从小到大有条理地说出3的倍数呢?
　　生4：我们是这样想的，把3×1=3，3×2=6，3×3=9，3×4=12，这样把3分别与1、2、3、4、5……依次相乘所得的积，都是3的倍数。
　　学生都向生4投去赞许的眼光。接着让学生尝试寻找2和5的所有倍数并正确表达。
　　[感想]寻找一个数的倍数，是本节课的一个教学重点。如何引导学生自主探究。观察发现求一个数的倍数的方法和特征?本片断在学生认识理解“倍数和因数”的意义基础上，适时地以“对于3的倍数是不是只有一个数12，还有没有其他数?”这一问题入手，放手让学生自主探究，让学生充分地尝试。在交流的过程中，使学生经历从无序到有序，随意到有意，从杂乱无章到有条理地清晰排列这样的过程。学生尽情地畅谈各自的想法。整个教学过程，学生始终是一个新知探究的主体，并在合作交流的氛围中，让学生对求一个数的倍数的方法及发现其特征有了一个深切的体验，加深了理解。特别是让学生如何有条理地寻找出一个数的倍数有一种茅塞顿开的导向作用，体现出学生学习新知经历探索、困惑、顿悟的过程。
　　片断三：在验证中提

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　　师：前面，由于大家共同协作，我们已经初步理解了倍数和因数的意义，会很快找出一个数的倍数，并探究出一个数的倍数的特征。下面，同学们还想探究什么问题呢?
　　生1：我想探究怎样寻找一个数的因数。
　　生2：我想知道一个数的因数有什么样的特征。
　　师：同学们想探究的问题真多。如何来寻找一个数的因数呢?我们一起来思考这样一道题：你能找出36的所有因数吗?
　　师：要解决这个问题，同桌之间可先讨论一下。一要思考什么样的数才是36的因数，二要思考怎样寻找才能做到不遗漏。(接着小组讨论，各自寻找，一会儿全班汇报交流)。
　　生1：36的因数有1、36，还有2、3、4、8。
　　生2：8不是，因为36÷8除不尽，36的因数还有9、12、18。
　　生3：还有一个6。
　　师：(教师根据学生的阐述加以板演，36的因数有1、36、2、3、4、9、12、18、6)还有吗?
　　生：没有了。
　　师：既然同学们都认为这些都是36的因数，那怎样来验证呢?有没有遗漏呢?
　　(学生思考片断)
　　生1：只要思考( )×( )=36，就能说明这些数是不是36的因数。
　　生2：还可以用36÷( )=( )来进行验证。
　　师：同学们想用乘法算式和除法算式来进行验证，这是一种好方法。下面我们一起来研究。
　　师生共同得出：36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36。
　　师：根据刚才的研究，你发现寻找一个数的因数，用什么方法既快又准呢?
　　师生归纳：想乘法算式或除法算式，从1开始，一对一对地找，直到找到两个数接近为止。
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　　[感想]让学生带着自己想要探究的问题去学习，去思考，是构建有效课堂教学的重要途径。本片断的教学，是在学生认识倍数和因数，掌握求一个数的倍数方法的基础上，以“你还想探究什么问题”为切入口，明确探究寻找一个数的因数的方法与特征为目标，当学生经过个体尝试、小组间的交流、全班性的沟通，初步获得36的因数以后，及时抛出问题：“怎样来验证这些数都是36的因数呢?有没有遗漏?”更是激起学生深层次探究的热情，想( )×( )=36或36÷( )=( )，是学生自主探究得到的求一个数所有因数方法的有效途径，“一对一对地找，直到找到两个数接近为止”是学生自主探索发现的求一个数因数方法的“小窍门”。整个过程学生经历了探索中的困惑，讨论中的理解，验证中的感悟。方法上的提升，真正享受到自主探究、合作交流获得成功的体验